第45章 新的副本

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n=2: 4/2 = 2。1/1 + 1/2 + 1/2。有解。

n=3: 4/3 = 1/1 + 1/6 + 1/6。有解。

n=4: 4/4 = 1。1/2 + 1/3 + 1/6。有解。

n=5: 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20。有解。

【看起来，解总是存在的。那么，证明的关键，在於构造。】

他没有急於下结论，而是开始思考问题的核心。

【4/n = 1/x + 1/y + 1/z。这个方程的自由度太高了，三个未知数。必须想办法减少变量，或者找到它们之间的约束关係。】

【思路的核心，应该是根据 n的性质，来构造出对应的 x， y， z。】

突然，一道灵光闪过！

【是 n的同余性质！特別是模4的余数！】

一个在解决丟番图方程时，屡试不爽的强大武器，浮现在他的脑海中。

【任何整数n，根据模4的余数，都可以被分为四类：4k， 4k+1， 4k+2， 4k+3。】

【如果我能为每一类n，都找到一个通用的构造公式，那么问题不就解决了吗？！】

徐辰的精神为之一振，睡意全无。他感觉自己像一个工程师，不再是盲目地寻找一个特定的零件，而是开始设计一套能生產所有零件的“模具”！

【第一种情况：n = 4k。】

【4/n = 4/(4k)= 1/k。】

【1/k = 1/(2k)+ 1/(3k)+ 1/(6k)。】

【所以，x=2k， y=3k， z=6k。搞定！这一类最简单。】

【第二种情况：n = 4k+2 = 2(2k+1)。】

【4/n = 4/(2(2k+1))= 2/(2k+1)。】

【2/(2k+1)= 1/(2k+1)+ 1/(2k+1)。还差一个……】

【1/(2k+1)= 1/(2k+2)+ 1/((2k+1)(2k+2))。】

【所以，4/n = 1/(2k+1)+ 1/(2k+2)+ 1/((2k+1)(2k+2))。】

【令 x = 2k+1， y = 2k+2， z =(2k+1)(2k+2)。搞定！】

逻辑的链条，开始一环扣一环地被构建起来。前两种情况，他只用了不到半个小时，就轻鬆解决。

但当他开始处理第三种情况时，瓶颈出现了。

【第三种情况：n = 4k+3。】

他尝试了各种恆等变换，试图构造出通用的解，但每一次，构造出的分母中，都不可避免地会出现 k，导致解的普適性被破坏。

【这条路，走不通。或者说，简单的恆等变换，在这里失效了。】

他感到了焦灼。就像攀岩者，已经爬到了半山腰，却发现眼前是一片光滑的、找不到任何著力点的绝壁。

他放下笔，在房间里来回踱步，强迫自己跳出之前的思维定式。

【如果，从另一个角度看呢？】

【4/n =(4(k+1))/(n(k+1))=(4k+4)/(n(k+1))=(n+1)/(n(k+1))。】

【4/n = 1/(k+1)+ 1/(n(k+1))。】

【这个恆等式，是解决问题的关键！由 mordell在1969年提出！】

一个在数论歷史中闪耀的名字，浮现在他的脑海中！

【我一直在试图自己重新发明轮子！其实前人已经铺好了路！】

思路，瞬间豁然开朗！

他重新坐回桌前，眼神中爆发出前所未有的光芒。

他不再纠结於自己构造，而是直接站在了巨人的肩膀上！

【对於 n = 4k+3的情况：】

【利用恆等式 4/n = 1/((n+1)/4)+ 1/(n(n+1)/4)。】

【因为 n=4k+3，所以 n+1 = 4k+4 = 4(k+1)。】

【(n+1)/4 = k+1，是整数！所以 1/((n+1)/4)是一个单位分数！】

【令 x =(n+1)/4。】

【现在，只需要將 1/(n(n+1)/4)分解成两个单位分数之和。】

【1/a = 1/(a+1)+ 1/(a(a+1))。这是一个经典的分解！】

【所以，x =(n+1)/4，y = n(n+1)/4 + 1，z =(n(n+1)/4)*(n(n+1)/4 + 1)。】

【搞定！第三种情况，解决！】

只剩下最后，也是最难的一种情况：n = 4k+1。

他用同样的方法，將问题转化，但发现，无论如何，都无法避免地会出现更复杂的分数形式。

【我到底忽略了什么……】

他看著窗外城市的点点灯火，大脑放空。

突然，他想起了自己最初的验算。

n=5: 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20。

【这里的 x， y， z之间，有什么关係？】

【如果，我能找到一个关於 n的线性同余方程组，它的解，恰好能导出 x， y， z呢？】

【中国剩余定理！】

一个古老而又强大的东方智慧，如同启明星，照亮了最后的黑暗！

他猛地冲回桌前，心臟狂跳。

他不再试图去“构造”一个通用的公式，而是去“证明”一个解的存在性！

【对於 n = 4k+1的情况，我们可以找到一个整数 t，使得 t*n+1是一个4的倍数，甚至是某个数的倍数……】

【不，思路更直接一点！我们可以找到两个整数 a， b，使得 an+1 = 4b。】

【根据裴蜀定理，只要 gcd(n， 4)= gcd(4k+1， 4)= 1，这样的 a， b就必然存在！】

【利用扩展欧几里得算法，可以找到这样一组 a， b。】

【然后，4/n = 4a/(an)= 4a/(4b-1)……这条路似乎更复杂了。】

他再次陷入沉思，但这一次，他感觉自己离真相只有一步之遥。

【回归方程本身：4xyz = n(xy+yz+zx)。】

【如果我能找到一个特殊的 x，让这个方程简化呢？】

【设 x = k*n。代入后……不行。】

【设 x =(n+a)/4。】

一个大胆的设想，在他脑中形成。

经过一番极其复杂的代数推演，利用模运算和二次剩余的性质，他最终將问题，锁定在了一个特定的同余方程上！

【……最终，可以证明，对於所有素数 n≡ 1 (mod 4)，总能找到满足条件的解。而对於合数，可以通过其素因子分解来构造解。】

当最后一个句號落下时，他长长地舒了一口气，一股难以言喻的、酣畅淋漓的快感，从心底涌起，传遍四肢百骸。

这种攻克未知猜想的喜悦，远比在考场上拿到满分，要来得更加纯粹，更加强烈！

他揉了揉有些酸涩的眼睛，下意识地看了一眼窗外。

窗外的天色，已经由漆黑，转为了鱼肚白，初升的朝阳，正將第一缕金色的光辉，洒向这座异国的城市。

天，已经亮了。