第15章 省赛第一场

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此时的徐辰，確实遇到了麻烦。

【这个问题，有点棘手。】

他把陈老师给的竞赛资料在脑子里过了一遍，很確定，没有讲过这类问题的解题技巧。

陈老师的资料也是托关係从別的学校要来的，都是些常规的竞赛知识点。对於安城三中大部分学生来说，已经完全够用了，再深的东西，教了也学不会。

所以，徐辰现在只有一个大概的方向，但缺少趁手的数学工具。

他停下笔，开始思考。

【要证明存在一种“好”的著色方案，可以反过来想，证明“所有方案都不好”的概率小於1。】

【一个“不好”的方案，就是指至少有一条边的两个端点顏色相同。】

他想到了概率论里最基础的工具——联合界。

【假设a_i是第i条边顏色相同的事件，那么p(a_i)= 1/k。如果图里有m条边，所有坏事件的概率加起来就是 m/k。】

笔尖在草稿纸上划了几行，徐辰又停下了。

【不行。m的最大值能到 nd/2，这样算出来的概率和很可能会大於1。联合界这个方法太粗糙了，行不通。】

他轻轻划掉了刚写的几行字。

徐辰闭上眼睛，屏蔽了周围的杂音，脑子里只剩下那张由点和线构成的抽象的图。

【这些“坏事件”a_i之间，不是完全独立的。一条边出问题，会影响到和它共用一个顶点的其他边……但是，这种影响是局部的。】

“局部”！

这个词像钥匙一样，打开了他脑中的一扇门。

徐辰猛地睁开眼，目光里透著一股专注。

【对，一个事件a_i，只和少数跟它“相邻”的事件有关。一条边，最多只和 2(d-1)条其他边共用顶点。它的影响范围是有限的。】

【如果能找到一个方法，精確地描述这种“有限影响”，是不是就能把那个大於1的概率和给降下来？】

他没学过什么洛瓦兹局部引理。

他的世界里，没有现成的公式可以套。

他要做的，是从最基本的概率公理出发，自己动手，搭一座通往答案的桥。

他的笔又动了。

这一次，不再是试探，而是带著明確的方向进行推演。

他开始尝试构建一个更精细的概率不等式。

【假设，给每个坏事件a_i，都分配一个在(0，1)之间的权重x_i。如果能证明，每个事件a_i发生的概率，都小於一个由它自己和它所有“邻居”的权重共同决定的数值……】

这个想法很大胆，推导过程也极其复杂。

p(a_i)≤ x_i *Π_{j与i相关}(1 - x_j)

当这个不等式被他写在草稿纸上时，他感觉自己抓住了问题的关键。

接下来，就是海量的计算和放缩。草稿纸一张接一张地被写满，上面的符號和逻辑箭头，密密麻麻。

【计算量太大了，脑子有点跟不上了。】

徐辰看了看时间，还剩30分钟，时间有点紧。

【对了，专注胶囊！】

他想起了系统新手任务奖励的5颗专注胶囊。

【系统，使用专注胶囊。】

一瞬间，徐辰感觉大脑变得异常清晰和冷静，外界的一切干扰都消失了，全部的注意力都集中在了眼前的题目上。

他的计算速度和思维效率，陡然提升。

5分钟……